评分及理由

（1）求解微分方程部分（满分4分）

学生正确写出了一阶线性微分方程的通解公式，但在计算积分时出现严重错误：将 \( e^{-\sqrt{x}} \cdot \int (2+\sqrt{x}) e^{\sqrt{x}} dx \) 错误简化为 \( \int (2+\sqrt{x}) dx \)，这属于逻辑错误。虽然后续代入初值条件的过程正确，但由于通解错误，导致最终函数表达式错误。扣3分，得1分。

（2）渐近线分析部分（满分6分）

学生分析了三种渐近线：

• 水平渐近线：得出 \(\lim_{x\to\infty} y=\infty\) 正确，但错误地认为存在水平渐近线 \(y=\frac{1}{3}\)，这是基于错误函数表达式的错误结论。扣2分。
• 铅直渐近线：正确判断没有铅直渐近线。得2分。
• 斜渐近线：计算 \(a=\lim_{x\to\infty}\frac{y}{x}\) 时方法正确但基于错误函数，且错误得出没有斜渐近线的结论。扣2分。

本部分得2分。

题目总分：1+2=3分