评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生正确写出了二次型对应的矩阵 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \)，与标准答案一致。因此得4分。

（2）得分及理由（满分4分）

学生在第（Ⅱ）问中存在多处逻辑错误：

• 错误地将矩阵 \( A \) 通过初等变换化为 \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)，并据此错误地得出特征值为 \(1, 0, 0\)。实际上，\( A \) 的特征值应为 \(14, 0, 0\)。
• 特征向量的计算错误：对于 \(\lambda = 1\)，求解 \((E - A)x = 0\) 的过程和结果均不正确；对于 \(\lambda = 0\)，特征向量计算也不正确。
• 单位化后错误地得出 \( Q = E \)，且标准形错误地写为 \( y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 \)，与正确答案 \(14y_1^2\) 不符。

由于核心逻辑（特征值、特征向量、正交变换、标准形）全部错误，本部分得0分。

（3）得分及理由（满分4分）

学生在第（Ⅲ）问中基于第（Ⅱ）问的错误结果，得出 \( f(x_1, x_2, x_3) = 0 \) 的解为 \( k_1(1,0,0)^T + k_2(0,1,0)^T + k_3(0,0,1)^T \)，这与标准答案 \( x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \) 的解空间完全不符，属于逻辑错误。因此得0分。

题目总分：4+0+0=4分