评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生第一次识别结果为空，第二次识别结果为$\cos\sqrt{x}-1$。标准答案为$\cos \sqrt{x}$。

分析：

• 级数$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{n}$的展开式为： $$1 - \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{4!} - \frac{x^3}{6!} + \cdots$$
• 这与余弦函数的展开式$\cos z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n}$对比，令$z = \sqrt{x}$，得到和函数为$\cos\sqrt{x}$
• 学生答案$\cos\sqrt{x}-1$相当于去掉了常数项1，即只计算了$n \geq 1$的部分，而题目中的级数是从$n=0$开始的
• 这是一个逻辑错误，说明学生对级数求和的理解存在偏差

根据评分规则，存在逻辑错误不能给满分，因此扣分。

得分：0分

题目总分：0分