评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生答案为 \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)，而标准答案为 \(\frac{2}{3}\)。计算过程如下：

• 概率密度函数 \(f(x) = \frac{x}{2}\)，\(0 < x < 2\)。
• 数学期望 \(EX = \int_0^2 x \cdot \frac{x}{2} \, dx = \int_0^2 \frac{x^2}{2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} \Big|_0^2 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\)。
• 分布函数 \(F(x) = \int_0^x \frac{t}{2} \, dt = \frac{x^2}{4}\)，\(0 < x < 2\)。
• 需要计算 \(P\{F(X) > EX - 1\} = P\left\{\frac{X^2}{4} > \frac{4}{3} - 1\right\} = P\left\{\frac{X^2}{4} > \frac{1}{3}\right\} = P\left\{X^2 > \frac{4}{3}\right\} = P\left\{X > \frac{2}{\sqrt{3}}\right\}\)（因为 \(X > 0\)）。
• 该概率为 \(\int_{2/\sqrt{3}}^2 \frac{x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_{2/\sqrt{3}}^2 = \frac{1}{4} \left(4 - \frac{4}{3}\right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{2}{3}\)。

学生答案 \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) 是积分上限，而非最终概率值，表明学生在计算概率时可能混淆了积分限与概率结果，属于逻辑错误。因此，本题得分为0分。

题目总分：0分