评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确求出a=4，得3分。在求k的取值范围时，学生得出k>0，但未说明k必须等于3（因为合同要求正负惯性指数相同，A的正惯性指数为2，B的正惯性指数为1+k>0的个数，所以k>0且k≠6时正惯性指数为2，但标准答案要求k>0即可，此处不扣分）。但学生最后写k∈(0,+∞)，这是不准确的，因为当k=6时B的正惯性指数为2，但A的正惯性指数为2，实际上k=6也是可以的？标准答案只要求k>0，所以此处不扣分。但学生未明确指出k>0的原因（A的正惯性指数为2），扣1分。本小问得5分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确求出k=3，得1分。求出特征向量基本正确，但在排列正交矩阵Q时，学生的Q矩阵中第二列和第三列与标准答案符号有差异（r₂的最后一个分量是-1/√2，而标准是1/√2；r₃的第二个分量是-2/√6，标准也是-2/√6，但排列顺序和符号需检查），但经过验证，学生给出的Q仍满足QᵀAQ=B（因为特征向量可差负号）。单位化正确。本小问主要结果正确，但Q的列向量顺序或符号与标准答案不同，不扣分。得6分。

题目总分：5+6=11分