评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 \(2xy-\frac{3}{2}x^{2}-\frac{5}{2}y^{2}+2 = 0\)。为了判断是否正确，我们将其与标准答案 \(3x^{2}-4xy + 5y^{2}=4\) 进行比较。

首先，观察学生答案的形式，它是一个关于 \(x\) 和 \(y\) 的二次方程，这与标准答案的形式一致，表明学生可能掌握了求解这类微分方程（可能是恰当微分方程）的基本思路，即通过寻找一个全微分等于零的函数（势函数）来得到隐式解。因此，从思路正确性的角度，不应对此扣分。

然而，核心在于计算结果。我们将学生答案与标准答案进行等价变换比较。标准答案可以写为 \(3x^{2} - 4xy + 5y^{2} - 4 = 0\)。

学生答案为 \(2xy-\frac{3}{2}x^{2}-\frac{5}{2}y^{2}+2 = 0\)。为了便于比较，将学生答案两边乘以2以消去分母：\(4xy - 3x^{2} - 5y^{2} + 4 = 0\)，即 \(-3x^{2} + 4xy - 5y^{2} + 4 = 0\)。

将其与标准答案 \(3x^{2} - 4xy + 5y^{2} - 4 = 0\) 对比，发现学生答案的每一项系数（包括常数项）恰好是标准答案对应项的相反数。即：

• 学生答案：\(-3x^{2} + 4xy - 5y^{2} + 4 = 0\)
• 标准答案：\(3x^{2} - 4xy + 5y^{2} - 4 = 0\)

将学生答案两边乘以 -1，得到 \(3x^{2} - 4xy + 5y^{2} - 4 = 0\)，这与标准答案完全一致。

因此，学生的答案 \(2xy-\frac{3}{2}x^{2}-\frac{5}{2}y^{2}+2 = 0\) 与标准答案 \(3x^{2}-4xy + 5y^{2}=4\) 是等价的。这属于思路正确且计算结果等价的情况。

根据评分要求：

• “思路正确不扣分：对于思路与标准答案不一致但是正确的不扣分。” 学生的解法思路（得到隐式解）是正确的。
• 最终答案与标准答案等价，没有逻辑错误。
• 答案中虽然包含分数形式，但这只是表达形式的差异，不影响其正确性。

综上，该答案应得满分。

得分：5分

题目总分：5分