评分及理由

（1）求函数表达式得分及理由（满分6分）

学生从偏导数出发积分得到 \( f(x,y) = -x^2 e^{-y} + \varphi(y) + C \)，这是正确的思路。但在后续处理中，学生写出了一个混乱的表达式 \( f(x,y) = (1-x^2)e^{-y} + y e^{-y} + e^{-y} + \psi(x) + C \)，这里引入了多余的 \(\psi(x)\) 且合并后形式与标准不同，但最终化简为 \( f(x,y) = (1-x^2)e^{-y} + (1+y)e^{-y} + C \) 并利用 \( f(0,0)=2 \) 得到 \( C=0 \)，最终结果为 \( f(x,y) = (1-x^2)e^{-y} + (1+y)e^{-y} \)，这与标准答案 \( f(x,y) = -x^2 e^{-y} + (y+2)e^{-y} \) 是等价的（因为 \( (1-x^2) + (1+y) = 2 - x^2 + y \)，而标准答案是 \( -x^2 + y + 2 \) 整体乘以 \( e^{-y} \)）。因此函数表达式正确，但中间推导有冗余和混乱，不过最终结果正确，不扣分。得6分。

（2）求极值得分及理由（满分6分）

学生正确求出偏导数为零的方程组并得到驻点 \((0,-1)\)。计算二阶偏导数时，\( f_{xx} = -2e^{-y} \)、\( f_{xy} = 2x e^{-y} \) 正确，但 \( f_{yy} \) 计算为 \( e^{-y}(y - x^2) \) 有误，应为 \( e^{-y}(x^2 - y - 1) - e^{-y} = e^{-y}(x^2 - y - 2) \) 或直接对 \( \frac{\partial f}{\partial y} \) 再求导得到 \( e^{-y}(x^2 - y) \)（标准答案）。学生在驻点处代入得到 \( A=-2e, B=0, C=-e \)，这里 \( C \) 的值与标准答案一致（标准答案为 \( C = e^{-(-1)}(0^2 - (-1)) = e(1) = e \) 有误？标准答案写的是 \( C = -\mathrm{e} \)，即 \( -e \)，学生也是 \( C=-e \)，所以学生这里正确）。判别式 \( ...