评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生利用了对称性化简积分，思路正确。但在计算过程中存在多处逻辑错误：

• 在计算 \(I_1\) 时，极坐标积分限划分错误。区域 \(D\) 是两个圆的重叠部分，而学生将积分区域错误地划分为 \(0 \leq \theta \leq \pi/2\) 和 \(\pi/2 \leq \theta \leq \pi\)，并分别取半径上限为 \(4\sin\theta\) 和 \(4\cos\theta\)，这不符合实际区域边界。
• 在计算 \(I_1\) 的三角函数积分时，从 \(\int_0^{\pi/2} \sin^4\theta d\theta + \int_{\pi/2}^{\pi} \cos^4\theta d\theta\) 到后续的推导存在计算错误，最终得到 \(I_1 = 12\pi - 32\) 是错误的。
• 在计算 \(I_2\) 时，积分区域划分同样错误，仅考虑了 \(0 \leq \theta \leq \pi/2\) 且半径上限为 \(4\sin\theta\)，这不能覆盖整个区域 \(D\) 中 \(2xy\) 的积分。
• 最终结果 \(I = 12\pi - \frac{112}{3}\) 与正确答案 \(12\pi - \frac{16}{3}\) 不符。

由于核心思路（利用对称性）正确，但积分区域划分和具体计算存在严重逻辑错误，扣分较多。给予 4 分。

题目总分：4分