评分及理由

（1）充分性证明部分得分及理由（满分6分）

学生充分性证明存在逻辑错误。学生试图直接由条件应用拉格朗日中值定理得出f'(η₁) < f'(η₂)，从而得出f'(x)严格单调增加。但这里存在两个问题：首先，学生将条件中的差商直接等同于导数，这是不严谨的；其次，即使得到在特定点η₁, η₂处有f'(η₁) < f'(η₂)，这只能说明存在两点导数满足不等式，不能证明f'(x)在整个区间上严格单调增加。标准答案通过取极限和构造不等式链的方法来证明充分性，思路更为严谨。因此充分性证明不完整，扣4分，得2分。

（2）必要性证明部分得分及理由（满分6分）

学生必要性证明思路正确。应用拉格朗日中值定理得到两个区间上的导数表达式，由于f'(x)严格单调增加且ξ₁ < ξ₂，所以f'(ξ₁) < f'(ξ₂)，从而得出所需不等式。证明过程完整，逻辑清晰。虽然学生将"严格单调增加"误写为"严格单增"，但根据禁止扣分规则，这属于识别问题或表述简化，不扣分。得6分。

题目总分：2+6=8分