评分及理由

（1）收敛域判断得分及理由（满分6分）

学生正确分析了两个级数的收敛性：

• 对于 \(\sum e^{-nx}\)，指出当 \(x>0\) 时收敛（实际上应严格为 \(x>0\)，但学生写为 \((0,+\infty)\) 不扣分）。
• 对于 \(\sum \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}\)，正确使用比值判别法得到收敛半径 \(R=1\)，并检验端点 \(x=\pm 1\) 收敛，得到收敛域 \([-1,1]\)。
• 综合得到级数收敛域为 \((0,1]\)，与标准答案一致。

此处逻辑完整正确，得6分。

（2）和函数求解得分及理由（满分6分）

学生正确拆分和函数为两部分：

• 对于 \(\sum e^{-nx}\)，正确使用等比级数求和得到 \(\frac{1}{e^x-1}\)。
• 对于 \(\sum \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}\)，采用部分分式分解为 \(\sum \frac{x^{n+1}}{n} - \sum \frac{x^{n+1}}{n+1}\)，并正确计算：
  • \(\sum \frac{x^{n+1}}{n} = -x \ln(1-x)\)
  • \(\sum \frac{x^{n+1}}{n+1} = -\ln(1-x) - x\)
  • 相减得到 \((1-x)\ln(1-x) + x\)
• 最终和函数形式为 \(\frac{1}{e^x-1} + (1-x)\ln(1-x) + x\)（学生写为 \(-(x-1)\ln(1-x)+x\)，数学上等价，不扣分）。
• 在 \(x=1\) 处正确计算 \(S(1) = \frac{1}{e-1} + 1\)。

此处计算过程正确，结果与标准答案一致，得6分。

题目总分：6+6=12分