评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生正确识别出最大值区域为圆盘 \(x^2 + y^2 \leq 4\)，并采用极坐标计算二重积分。积分区域和积分表达式正确，但计算过程中出现逻辑错误：极坐标积分应为 \(\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^2 (4r - r^3) dr\)，而学生写为 \(4\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^2 (4r - r^3) dr\)，即错误地将角度范围设为 \([0, \frac{\pi}{2}]\) 并乘以4。尽管最终结果 \(8\pi\) 正确，但方法存在根本性错误。考虑到结果正确且核心思路（极坐标变换）正确，但计算过程有误，扣2分。

得分：4分

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生正确设出 \(P, Q\) 并计算偏导数，但偏导数计算过程复杂且未化简，最终错误得出 \(\frac{\partial P}{\partial x} - \frac{\partial Q}{\partial y} = 0\) 的结论（实际应为非零）。后续采用小椭圆围道方法正确，但在格林公式应用时，未注意到被积函数在原点不连续，直接使用路径无关性不合理。计算椭圆面积时正确（\(\pi \varepsilon^2\)），但最终积分结果 \(2\pi\) 错误（标准答案为 \(-\pi\)）。由于核心思路（围道积分）正确，但偏导数判断和最终结果错误，扣3分。

得分：3分

题目总分：4+3=7分