评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生在这一部分求解正交矩阵P使得P^TAP为对角矩阵。首先，特征值的计算正确，得到λ₁=λ₂=a-1，λ₃=a+2。但在求特征向量时，对于λ=a-1，学生给出的矩阵(a-1)E-A有误，应为[[-1,-1,1],[-1,-1,1],[1,1,-1]]，但学生写成了[[-1,1,1],[-1,-1,1],[1,1,-1]]，这导致后续特征向量求解错误。具体地，学生给出的特征向量η₁=[1,0,1]^T和η₂=[1,1,0]^T不正确（标准答案为α₁=[-1,1,0]^T和α₂=[1,0,1]^T）。正交化过程中，学生使用了错误的向量，导致β₂计算错误。单位化后，学生给出的正交矩阵P与标准答案不一致，但结构相似（列向量单位正交）。尽管P不正确，但学生正确写出了P^TAP为对角矩阵的形式。由于特征值正确但特征向量和正交化过程有逻辑错误，扣3分。得分：3分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生在这一部分求解正定矩阵C使得C²=(a+3)E-A。思路正确：利用P^TAP的对角化结果，计算P^T[(a+3)E-A]P得到对角矩阵[[4,0,0],[0,4,0],[0,0,1]]，然后通过开方构造C=P[[2,0,0],[0,2,0],[0,0,1]]P^T。学生正确写出了C的表达式，并计算出了具体的矩阵值[[5/3,-1/3,1/3],[-1/3,5/3,1/3],[1/3,1/3,5/3]]，这与标准答案一致。尽管在(Ⅰ)中P有误，但学生在本部分直接使用了正确的对角矩阵进行计算，且结果正确，因此不扣分。得分：6分。

题目总分：3+6=9分