评分及理由

（1）证明数列收敛部分（满分5分）

学生首先利用不等式 \(e^x - 1 \geq x\) 推导出 \(x_{n+1} \geq 0\)，然后通过定义 \(x_{n+1} = \ln\frac{e^{x_n}-1}{x_n}\) 和函数 \(F(x)\) 的分析，得到 \(\frac{e^{x_{n+1}}}{e^{x_n}} \leq 1\)，从而证明数列单调递减且有下界，进而得出数列收敛。思路正确，逻辑清晰，与标准答案使用微分中值定理的方法不同，但结论一致且论证有效。此处不扣分。

得分：5分

（2）求极限部分（满分5分）

学生设极限为 \(a\)，代入递推关系得到方程 \(a e^a = e^a - 1\)，然后令 \(f(x) = x e^x - e^x + 1\)，求导得 \(f'(x) = x e^x\)，分析单调性后得出 \(a=0\) 是唯一解。此处与标准答案一致，论证正确。

得分：5分

题目总分：5+5=10分