评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案直接给出"11/9"，与标准答案"\(\frac{11}{9}\)"完全一致。

该题考察的是线性代数中关于向量内积和线性方程组的知识。题目条件\(\gamma^{T}\alpha_{i}=\beta^{T}\alpha_{i}(i = 1,2,3)\)等价于\((\gamma-\beta)^{T}\alpha_{i}=0\)，即\(\gamma-\beta\)与每个\(\alpha_i\)正交。

由于\(\gamma = k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+k_{3}\alpha_{3}\)，代入条件可得关于\(k_1,k_2,k_3\)的线性方程组：

\(\alpha_i^T(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3) = \alpha_i^T\beta \quad (i=1,2,3)\)

这实际上是一个Gram矩阵方程：\(Gk = b\)，其中\(G_{ij} = \alpha_i^T\alpha_j\)，\(b_i = \alpha_i^T\beta\)。

计算可得：

\(\alpha_1^T\alpha_1=3, \alpha_1^T\alpha_2=0, \alpha_1^T\alpha_3=2, \alpha_1^T\beta=1\)

\(\alpha_2^T\alpha_1=0, \alpha_2^T\alpha_2=3, \alpha_2^T\alpha_3=0, \alpha_2^T\beta=-1\)

\(\alpha_3^T\alpha_1=2, \alpha_3^T\alpha_2=0, \alpha_3^T\alpha_3=3, \alpha_3^T\beta=1\)

得到方程组：

\(\begin{cases} 3k_1+2k_3=1 \\ 3k_2=-1 \\ 2k_1+3k_3=1 \end{cases}\)

解得：\(k_1=\frac{1}{5}, k_2=-\frac{1}{3}, k_3=\frac{1}{5}\)

因此\(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}=\frac{1}{25}+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}=\frac{11}{9}\)

学生答案正确...