评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确建立了微分方程：由切线方程得到截距为 \(y - xy'\)，根据题意“到 y 轴的距离等于该点处的切线在 y 轴上的截距”得到方程 \(x = y - xy'\)，整理为 \(y' - \frac{1}{x}y = -1\)。然后正确求解该一阶线性微分方程，得到通解 \(y = x(C - \ln x)\)，并利用初始条件 \(y(1) = 2\) 确定常数 \(C = 2\)，最终得到 \(y = x(2 - \ln x)\)（学生写为 \(y = -x\ln x + 2x\)，等价）。过程完整，逻辑正确，得满分5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确写出 \(f(x) = \int_1^x (-t\ln t + 2t)dt\)，并求导得 \(f'(x) = -x\ln x + 2x\)，令导数为零解得驻点 \(x = e^2\)。通过二阶导数检验 \(f''(e^2) = -1 < 0\)，判断为极大值点。计算定积分时，正确使用分部积分法求出原函数，并代入上下限得到最大值 \(f(e^2) = \frac14 e^4 - \frac54\)。过程完整，计算正确，得满分5分。

题目总分：5+5=10分