评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是 y - 2x = 0，这与标准答案 y = 2x 是等价的。题目要求求曲线在 t=1 处的切线方程，需要计算导数 dy/dx 在 t=1 时的值，即切线的斜率。

计算过程如下：

• dx/dt = d/dt [∫₀^(1-t) e^(-u²) du] = -e^(-(1-t)²) （根据莱布尼茨公式）
• 在 t=1 时，dx/dt|_(t=1) = -e^(-(1-1)²) = -e⁰ = -1
• dy/dt = d/dt [t² ln(2-t²)] = 2t ln(2-t²) + t² × [1/(2-t²)] × (-2t) = 2t ln(2-t²) - 2t³/(2-t²)
• 在 t=1 时，dy/dt|_(t=1) = 2×1×ln(2-1) - 2×1³/(2-1) = 2×ln1 - 2 = 0 - 2 = -2
• 因此 dy/dx|_(t=1) = (dy/dt)/(dx/dt)|_(t=1) = (-2)/(-1) = 2

当 t=1 时：

• x|_(t=1) = ∫₀^(1-1) e^(-u²) du = ∫₀⁰ e^(-u²) du = 0
• y|_(t=1) = 1² × ln(2-1²) = 1 × ln1 = 0

所以切线方程为 y - 0 = 2(x - 0)，即 y = 2x。

学生答案 y - 2x = 0 与 y = 2x 完全等价，因此答案正确。没有逻辑错误，思路正确，计算准确。

得分：4分

题目总分：4分