评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是 \(1\)，与标准答案一致。

该题要求通过正交变换将二次曲面方程化为指定形式，从而确定参数 \(a\)。标准解法是写出二次型的矩阵，通过特征值和特征向量的分析，利用正交变换不改变特征值这一性质，将原方程对应的矩阵与变换后的矩阵进行对比，从而解出 \(a\)。

具体过程如下：

1. 原二次型对应的矩阵为： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]
2. 变换后的二次型对应的矩阵为： \[ B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \] （因为方程 \(y_1^2 + 4z_1^2 = 4\) 对应的二次型矩阵是 diag(0, 1, 4)，其中 \(x_1\) 的系数为0）
3. 由于正交变换不改变矩阵的特征值，因此矩阵 \(A\) 和 \(B\) 的特征值相同，即 \(A\) 的特征值为 0, 1, 4。
4. 根据特征值的性质，矩阵 \(A\) 的迹等于特征值之和： \[ \text{tr}(A) = 1 + 3 + 1 = 5 = 0 + 1 + 4 = 5 \] 此条件自动满足。
5. 矩阵 \(A\) 的行列式等于特征值之积： \[ \det(A) = 0 \times 1 \times 4 = 0 \] 计算 \(\det(A)\)： \[ \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - a \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} a & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \] \[ = 1 \cdot (3 \cdot 1 - 1 \cdot 1...