评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确证明了两个不等式：

• 对于 \(\ln(1+\frac{1}{n}) < \frac{1}{n}\)，通过变量替换 \(t = \frac{1}{n}\)，构造函数 \(y = \ln(1+t) - t\)，利用导数证明单调递减，并代入 \(t=1\) 得到 \(f(1) < 0\)，从而得出不等式成立。此部分逻辑正确。
• 对于 \(\frac{1}{n+1} < \ln(1+\frac{1}{n})\)，构造函数 \(g(n) = \ln(1+\frac{1}{n}) - \frac{1}{n+1}\)，求导得 \(g'(n) = \frac{1}{n(n+1)^2} > 0\)，说明单调递增，且 \(g(1) = \ln 2 - \frac{1}{2} > 0\)，从而得出不等式成立。此部分逻辑正确。

但证明过程中，学生未明确说明 \(g(n)\) 在 \(n \in \mathbb{N}^+\) 上的单调性是否足以推出对所有 \(n\) 成立（实际上 \(g(n)\) 是离散函数，求导需谨慎），但思路正确且结论正确，此处不扣分。综上，第(1)问得满分5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生仅写出了 \(a_n\) 的定义式 \(a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n\)，但未给出任何收敛性证明。标准答案需通过单调性和有界性证明收敛：

• 单调性：利用 \(a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+1} - \ln(1+\frac{1}{n}) < 0\)（由(1)结论）。
• 有界性：利用 \(a_n > \ln(n+1) - \ln n > 0\) 或类似下界估计。

学生未提供这些关键步骤，因此证明不完整，逻辑缺失。根据打分要求，逻辑错误需扣分。本问得0分。

题目总分：5+0=5分