评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答的整体思路正确，通过通分、等价无穷小替换、泰勒展开和积分中值定理等方法求解极限，最终得到正确答案1/2。但在具体步骤中存在以下问题：

• 在第一步通分后，分母应为\((e^x-1)\sin x\)，学生写成了\((e^x-1)\cdot\sin x\)，这属于书写不规范但不影响逻辑，不扣分。
• 在第二步使用等价无穷小替换时，学生将分母\((e^x-1)\sin x\)直接替换为\(x^2\)，这一步在极限运算中是合理的，因为\(e^x-1 \sim x\)，\(\sin x \sim x\)，所以乘积\(\sim x^2\)，此处正确。
• 在第三步使用泰勒展开和积分中值定理时，学生将\(\sin x\)展开为\(x + o(x^2)\)，但实际展开应为\(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\)，这里学生忽略了高阶项，但在分子化简时仅保留到\(x^2\)项，最终结果正确，因此不扣分。
• 学生在使用积分中值定理时，写出\(\int_{0}^{x} e^{t^2} dt = e^{\xi^2} \cdot x\)，并指出当\(x \to 0\)时，\(\int_{0}^{x} e^{t^2} dt \to x\)，这一步正确，但在后续代入时，学生将\(\sin x \cdot \int_{0}^{x} e^{t^2} dt\)近似为\(x \cdot x = x^2\)，而标准答案中是通过极限运算得到\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cdot \int_{0}^{x} e^{t^2} dt}{x^2} = 1\)，学生的近似方法虽然不够严格，但结果正确，且在高阶项处理上未影响最终结果，因此不扣分。
• 学生在分子化简时，得到\(x + x^2 - x - \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x^2\)，这一步计算正确，最终极限为1/2，与标准答案一致。

综上所述，学生作答的核心逻辑正确，最终答案正确，但在泰勒展开和积分中值定理的应用上存在不够严格的地方。由于题目满分10分，且学生答案正确，但步骤中有不严谨之处，扣1分。

得分：9分

题目总分：9分