评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生正确识别微分方程为一阶线性微分方程，并采用常数变易法求解。求解过程完整，得到通解形式 \(y = 1 + Cx^6\)，并利用初始条件 \(y(\sqrt{3}) = 10\) 正确求出常数 \(C = \frac{1}{3}\)，最终得到正确解 \(y(x) = 1 + \frac{1}{3}x^6\)。虽然答案书写为 \(\frac{1}{3}x^{6}+1\)，但加法交换律不影响结果，不扣分。

得分：6分

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生正确计算导数 \(y'(x) = 2x^5\)，建立法线方程，并正确求出法线在y轴截距 \(I_P = 1 + \frac{1}{3}x^6 + \frac{1}{2x^4}\)。但在后续求最小值时，采用了均值不等式方法，将表达式拆分为6项：

\(I_P = 1 + \frac{1}{6}x^6 + \frac{1}{6}x^6 + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x^4} + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x^4} + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x^4}\)

这里存在两个问题：

1. 拆分后的系数和应为1，但学生拆分后各项系数和为 \(1 + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = 1 + \frac{5}{6} = \frac{11}{6}\)，与原表达式不符
2. 使用均值不等式时，要求各项均为正数且乘积为定值，但学生的拆分方式导致乘积不是定值

虽然最终得到了正确的极值点 \(x = 1\) 和点 \(P(1,\frac{4}{3})\)，但方法存在逻辑错误。考虑到学生正确建立了问题模型并得到了最终正确答案，给予部分分数。

得分：4分

题目总分：6+4=10分