评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答与标准答案思路完全一致，均采用极坐标变换求解。具体步骤：

• 正确识别曲线方程并转化为极坐标形式 \( r = \sqrt{\cos 2\theta} \)
• 正确确定积分区域 \(\theta \in [0, \frac{\pi}{4}]\)
• 正确写出极坐标下的二重积分表达式 \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} d\theta \int_{0}^{\sqrt{\cos 2\theta}} r^3 \cos\theta \sin\theta dr\)
• 积分计算过程正确，包括：
  • 对r积分得到 \(\frac{1}{4}\cos^2 2\theta\)
  • 利用\(\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\)进行变量替换
  • 正确进行换元积分 \(d(\cos 2\theta)\)
  • 最终计算结果 \(\frac{1}{48}\) 正确

虽然学生在书写过程中有少量表达不够规范（如积分表达式写法），但核心逻辑和计算过程完全正确，根据评分要求，思路正确不扣分，识别误差不扣分。

得分：12分

题目总分：12分