评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中第一问存在多处逻辑错误：

• 错误1：学生说“已知β是\(Ax = 0\)的基础解系”，但题目中明确给出β是\(A^T x = 0\)的基础解系，这是概念混淆，属于严重逻辑错误。
• 错误2：学生写“\(\vert4 - r(A^{T})\vert=1\)”，绝对值符号错误，应该是\(4 - r(A^T) = 1\)。
• 错误3：学生说“β与\(\alpha_{1}^{T},\alpha_{2}^{T},\alpha_{3}^{T},\alpha_{4}^{T}\)线性无关”，这里出现\(\alpha_4^T\)是多余的，且转置符号使用混乱。
• 错误4：学生直接得出“\(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\beta\)线性无关”的结论，但没有给出严格的证明过程，缺少关键的线性组合和正交性论证。

由于第一问的证明思路完全偏离标准答案，且存在多个根本性概念错误，扣6分。

得分：0分

（2）得分及理由（满分6分）

学生作答中第二问：

• 正确部分：学生正确理解\(A^T\beta = 0\)，并建立了正确的方程组，求出了基础解系的形式。
• 错误部分：学生给出的最终矩阵A形式复杂且参数过多（9个参数），而标准答案只需要一个具体的矩阵实例。虽然理论上正确，但不符合题目“求一个矩阵A”的要求（应给出具体数值矩阵）。
• 识别问题：学生将β误写为“\(Ax = 0\)的基础解系”，但根据上下文判断为识别错误，不扣分。

由于学生正确建立了方程并求出基础解系，但未给出符合要求的简洁答案，扣3分。

得分：3分

题目总分：0+3=3分