评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答采用极坐标方法计算二重积分，思路正确。但在以下方面存在错误：

• 被积函数识别错误：原题为 \(x^2 + 2xy + \sqrt{3}y\)，学生误写为 \(x^2 + 2x + \sqrt{3}y\)，导致后续计算对象错误。
• 积分区域错误：区域 \(D\) 由 \(x^2+y^2 \leq 4\) 和 \(y \geq \sqrt{3}x^2\) 界定，学生错误地取 \(\theta\) 从 \(\pi/3\) 到 \(2\pi/3\)，这对应的是圆的一部分但未考虑抛物线边界。
• 计算过程：尽管极坐标计算过程本身无逻辑错误，但由于上述根本性错误，最终结果 \(\frac{2\pi}{3} + 3\sqrt{3}\) 与标准答案 \(\frac{2\pi}{3} + \frac{13\sqrt{3}}{6}\) 不符。

鉴于核心逻辑（积分区域和被积函数）存在严重错误，但计算过程部分正确，扣分如下：

• 被积函数错误扣3分
• 积分区域错误扣4分
• 最终结果错误扣2分

得分：12 - 3 - 4 - 2 = 3分

题目总分：3分