评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中第1问存在多处逻辑错误：

• 错误1：将题目条件“β是\(A^T x = 0\)的基础解系”误写为“β是\(Ax = 0\)的基础解系”，这是对题目条件的根本性误解。
• 错误2：在推导秩的关系时，错误地写出“\(4 - r(A^T) = 1\)”后直接得到“\(-r(A^T) = -3\)”，这是明显的计算逻辑错误，正确应为\(r(A^T) = 3\)。
• 错误3：结论部分提到“β与\(\alpha_1^T, \alpha_2^T, \alpha_3^T, \alpha_4^T\)线性无关”，这里出现了不存在的\(\alpha_4^T\)，且表述混乱。

虽然学生试图使用秩的推理，但由于存在多个关键逻辑错误，且未能给出完整的线性无关性证明（如标准答案中的向量组合与内积验证），因此本问得分0分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生作答中第2问：

• 正确部分：正确理解\(A^T \beta = 0\)的条件，并建立了正确的方程组。
• 错误部分：在求解方程组的基础解系时，给出的基础解系向量\(\begin{pmatrix}-3\\0\\0\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\-1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}\)存在错误。标准正确基础解系应为\(\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-3\\0\\0\\1\end{pmatrix}\)。
• 虽然学生给出了参数化的一般解形式，但由于基础解系错误，导致最终矩阵A的形式不正确。

考虑到学生正确建立了方程并尝试求解，但基础解系计算错误，扣3分。本问得分3分。

题目总分：0+3=3分