评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答的整体思路与标准答案不同，但方法正确，使用了换元法和分部积分法，逻辑清晰。在第一步换元中，令 \( u = x^2 + 1 \)，但后续分部积分时设 \( v = \arctan x \)，\( dw = \ln(1 + x^2)d(x^2 + 1) \)，这一步是合理的，但推导过程中出现了一些错误：

• 在分部积分后，学生得到 \( \frac{1}{2}(x^2+1)\arctan x\ln(1 + x^2) - \frac{1}{2}\int\frac{1}{1 + x^2}\cdot(x^2+1)\ln(1 + x^2)dx - \frac{1}{2}\int\frac{2x}{1 + x^2}\cdot\arctan x\cdot(1 + x^2)dx \)，但标准答案中没有这一复杂形式，学生后续化简为 \( -\frac{1}{2}\int 2x\arctan x dx - \frac{1}{2}\int \ln(1 + x^2) dx \)，这一步化简有误，因为原积分中不应直接出现 \( 2x\arctan x \) 项，导致后续计算偏离。
• 在计算 \( \int 2x\arctan x dx \) 和 \( \int \ln(1 + x^2) dx \) 时，学生的方法正确，结果与标准答案一致。
• 最终整合结果时，学生得到 \( \frac{1}{2}\arctan x(x^{2}+1)\ln(1 + x^{2})-\frac{1}{2}(x^{2}+1)\arctan x+\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}x^{2}\ln(1 + x^{2})+C \)，但与标准答案 \( \frac{1}{2}(1 + x^{2})\arctan x\ln(1 + x^{2})-\frac{1}{2}x^{2}\arctan x-\frac{1}{2}x\ln(1 + x^{2})+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}\arctan x + C \) 不一致，主要差异在 \( \arctan x \) 和 \( \ln(1 + x^2) \) 项的系数和形式，表明学生在整合过程中有计算错误。

由于学生思路正确但存在逻辑错误和计算错误，导致最终结果不正确，扣分如下：...