评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生使用了极坐标变换的方法，思路正确。但在第一步积分表达式中，被积函数写为 \(x^2 + 2x + \sqrt{3}y\)，与题目中的 \(x^2 + 2xy + \sqrt{3}y\) 不符，这里“2x”应为“2xy”的识别错误。由于识别错误导致后续计算对象错误，属于逻辑错误，扣2分。

在极坐标变换中，学生正确识别了区域D的角范围 \(\theta \in [\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]\) 和半径范围 \(r \in [0,2]\)，这部分正确。

计算过程中，对 \(x^2 = r^2\cos^2\theta\) 的积分处理正确，但对 \(2xy\) 项的处理因识别错误而缺失。对 \(\sqrt{3}y\) 项的积分处理正确。

最终计算结果 \(\frac{2\pi}{3} + \frac{5\sqrt{3}}{3}\) 与标准答案 \(\frac{2\pi}{3} + \frac{13\sqrt{3}}{6}\) 不符，主要是由于被积函数识别错误导致。

综合考虑：思路正确但存在关键识别错误导致计算对象错误，扣2分；最终结果错误，扣2分。得分：12 - 2 - 2 = 8分。

题目总分：8分