评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生答案中出现了多处逻辑错误：

• 错误地写成“β是\(Ax = 0\)的基础解系”，应为“\(A^T x = 0\)的基础解系”，这是对题目条件的误读。
• 错误地写出“\(4 - r(A^{T})=1\)”后，又错误地推出“\(-r(A^{T})=-3\)”，这显然是计算或书写错误。
• 错误地提到“β与\(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}\)线性无关”，其中\(\alpha_4\)未定义，应为\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta\)。
• 整个证明过程缺乏严谨的线性组合和正交性论证，与标准答案中的方法不符，且关键步骤缺失。

由于存在多处逻辑错误和条件误用，本小题得分扣减严重。根据逻辑错误扣分原则，给予2分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生答案中：

• 错误地写成“\(\beta^{T}=(1,2,-1,3)\)是\(Ax = 0\)的基础解系”，应为“\(A^T x = 0\)的基础解系”。
• 虽然正确列出了方程组\(A^T \beta = 0\)，并求解了基础解系，但给出的基础解系向量为\(\begin{pmatrix}-3\\0\\0\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\-1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}\)，与标准答案不一致，但经检验这些向量确实与\(\beta\)正交，且线性无关，因此思路正确。
• 最终给出的矩阵A形式复杂，但本质上正确，只是参数化表达不同。

尽管有初始条件误写，但核心求解过程正确，且结果有效。根据思路正确不扣分原则，本小题不扣分，但由于初始条件误写，酌情扣1分，给予5分。

题目总分：2+5=7分