评分及理由

（1）积分求解过程得分及理由（满分5分）

学生正确对 \(f_{xy}''(x,y)=2(y+1)e^x\) 进行两次积分，得到 \(f(x,y)=(y^2+2y)e^x+xe^x\)，与标准答案一致。但在偏导数计算中存在一处错误：第二步对 \(y\) 积分时，学生写为 \(f_x'(x,y)=(y^2+2y)e^x+g(x)\)，这里 \(g(x)\) 应为 \(\varphi(x)\)，但属于符号差异，不影响逻辑，不扣分。整体积分过程正确，得5分。

（2）极值点求解过程得分及理由（满分3分）

学生正确求解偏导方程组，得到驻点 \((0,-1)\)。但在计算 \(\frac{\partial f}{\partial y}\) 时，学生写为 \(e^x(2y+1)=0\)，而正确应为 \((2y+2)e^x=0\)。这里 \(2y+1\) 是明显的计算错误，导致逻辑错误，扣1分。其余步骤正确，得2分。

（3）极值判定过程得分及理由（满分2分）

学生正确计算二阶偏导数，并在驻点处计算判别式 \(AC-B^2=2>0\) 且 \(A=1>0\)，判定为极小值，结果正确。虽然一阶偏导计算有误，但极值判定步骤独立且正确，不扣分，得2分。

题目总分：5+2+2=9分