评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答存在以下问题：

• 第一步求导错误：学生写的是 \( f(x) = -\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1+x^2} - 2x \)，这明显是错误的表达式，可能是识别错误或计算错误。正确的导数应为 \( f'(x) = -\sqrt{1+x^2} + 2x\sqrt{1+x^2} \)。这一步逻辑错误，扣2分。
• 学生提到罗尔定理推论，但未说明具体内容，且此处应用不准确（罗尔定理推论通常用于证明零点唯一性，而这里需要分析零点个数），但未影响后续判断，暂不扣分。
• 学生正确指出 \( x = \frac{1}{2} \) 是唯一驻点，并分析了单调性，这部分正确，不扣分。
• 学生声称 \( f(1) = 0 \)，但未给出计算过程。实际上，代入 \( x=1 \) 得 \( f(1) = \int_1^1 \sqrt{1+t^2} dt + \int_1^1 \sqrt{1+t} dt = 0 \)，正确，但未展示过程，扣1分。
• 学生直接说 \( f(\frac{1}{2}) < 0 \)，但未给出任何计算或比较过程，而标准答案中需要详细比较积分值。这一步逻辑不完整，扣2分。
• 学生正确计算了 \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \)，并应用零点定理得出在 \( (-\infty, \frac{1}{2}) \) 存在一个零点，这部分正确，不扣分。
• 学生未讨论 \( x \to -\infty \) 的极限，但标准答案中需要证明 \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty \) 以确认在 \( (-\infty, \frac{1}{2}) \) 存在零点。学生仅通过 \( f(1)=0 \) 和单调性推断，逻辑不严谨，扣1分。
• 最终结论正确（零点个数为2），但基于有缺陷的推理，不额外扣分。

总扣分：2（求导错误）+ 1（未展示f(1)计算）+ 2（未分析f(1/2)）+ 1（未讨论x→-∞极限）= 6分。得分：10 - 6 = 4分。

题目总分：4分