评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生采用换元法和分部积分法求解，思路正确。第一步换元时，令 \( u = x^2 + 1 \)，但后续分部积分设定 \( v = \arctan x \)，\( dw = \ln(1+x^2)d(x^2+1) \)，这里 \( dw \) 的表达式有误，应为 \( dw = \ln(1+x^2) du \) 且 \( du = 2x dx \)，但学生实际处理时直接进行分部积分，步骤中出现推导错误：

在分部积分后得到 \(\frac{1}{2}(x^2+1)\arctan x \ln(1+x^2) - \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1+x^2} \cdot (x^2+1) \ln(1+x^2) dx - \frac{1}{2} \int \frac{1+x^2}{1+x^2} \arctan x dx\)，这一步的导数计算有误，\(\frac{d}{dx}[\arctan x \ln(1+x^2)]\) 未正确应用乘积法则，导致多出一项 \(-\int x \arctan x dx\) 和 \(-\frac{1}{2} \int \ln(1+x^2) dx\)，这与标准答案的分部积分形式不同，但学生后续计算 \(\int x \arctan x dx\) 和 \(\int \ln(1+x^2) dx\) 正确。

最终结果化简后与标准答案一致：\(\frac{1}{2} \arctan x (x^2+1) \ln(1+x^2) - \frac{1}{2}(x^2+1) \arctan x + \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}x \ln(1+x^2) + C\)，等价于标准答案的 \(\frac{1}{2}(1+x^2)\arctan x \ln(1+x^2) - \frac{1}{2}x^2 \arctan x - \frac{1}{2}x \ln(1+x^2) + \frac{3}{2}x - \frac{3}{2} \arctan x + C\)（通过合并 \(\arctan x\) 项可验证）。

尽管中间步骤有逻辑错误，但最终结果正确，且思路总体合理。根据评分要求，思路正确不扣分，但逻辑错误需扣分。此处逻辑错误涉及分部积分的设定和推导，扣2分。

得分：10分（满分...