评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 \(\begin{pmatrix}2\\1\\-1\\1\end{pmatrix}\)，而标准答案是 \(k(-1,-1,2,-1)^{\mathrm{T}}\)，其中 \(k \in \mathbb{R}\)。我们需要判断学生答案是否与标准答案等价。

标准答案表示的是所有形如 \(k(-1,-1,2,-1)^{\mathrm{T}}\) 的向量，即所有与 \((-1,-1,2,-1)^{\mathrm{T}}\) 成比例的向量。学生给出的向量是 \((2,1,-1,1)^{\mathrm{T}}\)。检查这两个向量是否成比例：

• 若存在常数 \(k\) 使得 \(k(-1,-1,2,-1) = (2,1,-1,1)\)，则需满足：
  • \(-k = 2 \Rightarrow k = -2\)
  • \(-k = 1 \Rightarrow k = -1\)
  • \(2k = -1 \Rightarrow k = -0.5\)
  • \(-k = 1 \Rightarrow k = -1\)
• 显然，\(k\) 的值不一致，因此这两个向量不成比例。

因此，学生答案与标准答案不等价，属于逻辑错误（解空间方向错误）。根据评分规则，逻辑错误需扣分，本题得0分。

题目总分：0分