评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答在第一步分部积分处理上基本正确：正确选择了 \(u = \ln(x+\sqrt{1+x^2})\) 和 \(dv = \frac{x}{(1-x^2)^2}dx\)，并正确计算出 \(v = \frac{1}{2(1-x^2)}\)，从而得到分部积分形式 \(\frac12 \int \ln(x+\sqrt{1+x^2}) d\left(\frac{1}{1-x^2}\right)\)，并应用分部积分公式得到： \[ \frac12 \cdot \frac{\ln(x+\sqrt{1+x^2})}{1-x^2} - \frac12 \int \frac{1}{1-x^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx \] 这一步与标准答案一致，给分。

（2）得分及理由（满分0分）

学生在第二步处理 \(\int \frac{1}{(1-x^2)\sqrt{1+x^2}} dx\) 时出现严重逻辑错误：

• 错误地将积分变形为 \(\int \frac{\sqrt{1+x^2}}{1-x^4} dx\)，这是不正确的，因为 \(\frac{1}{(1-x^2)\sqrt{1+x^2}} \neq \frac{\sqrt{1+x^2}}{1-x^4}\)。
• 换元 \(x^2 = \sin t\) 导致 \(dx\) 与 \(dt\) 的关系错误，且后续积分化简完全偏离标准方法。
• 最终未能得到可积的简化形式，也没有完成积分计算。

因此第二步计算错误，不得分。

题目总分：6+0=6分

注：第一步正确得6分（分部积分部分占一半分数），第二步完全错误得0分。