评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案：5

标准答案：5

该题考查矩阵行列式的计算。由已知条件 \(|A|=1\)，需要计算 \(|A^{-1}+B^{-1}|\)。通过分析可得 \(B = A \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}\)，记该矩阵为 \(P\)，则 \(|B|=|A||P|=1\times 4=4\)。进一步计算 \(|A^{-1}+B^{-1}| = |A^{-1}(I+AB^{-1})| = |A^{-1}||I+AP^{-1}A^{-1}| = |A^{-1}||A(I+P^{-1})A^{-1}| = |A^{-1}||A||I+P^{-1}| = |I+P^{-1}|\)。计算得 \(P^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3/4 & -1/4 \\ 1/2 & -1/2 & 1/2 \end{pmatrix}\)，则 \(I+P^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -1 & 7/4 & -1/4 \\ 1/2 & -1/2 & 3/2 \end{pmatrix}\)，其行列式为 \(2\times(7/4\times 3/2 - (-1/4)\times(-1/2)) = 2\times(21/8 - 1/8) = 2\times 20/8 = 5\)。学生答案与标准答案一致，思路正确，计算无误，得满分5分。

题目总分：5分