评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生正确写出二次型矩阵 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \)，与标准答案一致。得4分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确求出特征值 \( \lambda_1 = \lambda_2 = 0, \lambda_3 = 14 \)，并正确求出特征向量 \( \eta_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \eta_2 = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \eta_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \)。正交化过程中，\( \beta_2 \) 的计算结果 \( \begin{pmatrix} \frac{3}{5} \\ -\frac{6}{5} \\ 1 \end{pmatrix} \) 与标准答案 \( \begin{pmatrix} -\frac{3}{5} \\ -\frac{6}{5} \\ 1 \end{pmatrix} \) 符号不一致，但正交化思路正确，且最终正交矩阵 \( Q \) 的列向量单位正交，标准形正确化为 \( 14y_3^2 \)。由于符号差异不影响正交变换本质，且整体逻辑正确，扣1分。得4分。

（3）得分及理由（满分3分）

学生正确将二次型写为 \( (x_1 + 2x_2 + 3x_3)^2 = 0 \)，并给出通解 \( k_1 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)，与标准答案一致。得3分。

题目总分：4+4+3=11分