评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是-2π/3。我们需要验证这个答案是否正确。

曲线L是球面x²+y²+z²=1与平面x+y+z=0的交线，这是一个空间圆。积分表达式为∮_L(xy-2yz+3xz)ds。

由于曲线L关于变量具有轮换对称性（球心在原点，平面法向量为(1,1,1)），我们可以利用对称性简化计算：

在曲线L上，由于对称性，有∮xyds = ∮yzds = ∮xzds，且∮x²ds = ∮y²ds = ∮z²ds。

原积分可写为：∮(xy-2yz+3xz)ds = ∮xyds - 2∮yzds + 3∮xzds

由对称性，∮xyds = ∮yzds = ∮xzds，所以原积分 = (1-2+3)∮xyds = 2∮xyds

现在需要计算∮xyds。利用对称性和约束条件：

在曲线L上，有x+y+z=0，所以z=-x-y，代入球面方程得：

x²+y²+(x+y)²=1 ⇒ 2x²+2y²+2xy=1 ⇒ x²+y²+xy=1/2

又因为∮(x²+y²+z²)ds = ∮1ds = 曲线长度

由于对称性，∮x²ds = ∮y²ds = ∮z²ds，所以3∮x²ds = ∮1ds ⇒ ∮x²ds = (1/3)∮1ds

同时，∮(x²+y²+xy)ds = ∮(1/2)ds = (1/2)∮1ds

即∮x²ds+∮y²ds+∮xyds = (1/2)∮1ds

代入∮x²ds = ∮y²ds = (1/3)∮1ds，得：

(1/3)∮1ds+(1/3)∮1ds+∮xyds = (1/2)∮1ds

⇒ (2/3)∮1ds+∮xyds = (1/2)∮1ds

⇒ ∮xyds = (1/2-2/3)∮1ds = (-1/6)∮1ds

曲线L的半径：球半径R=1，球心到平面距离d=|0+0+0|/√3=0，所以圆半径r=√(R²-d²)=1

曲线长度∮1ds = 2πr = 2π

所以∮xyds = (-1/6)×2π = -π/3

原积分 = 2∮xyds = 2×(-π/3) = -2π/3

因此，学生答案-2π/3是正确的。

得分：5分

题目总分：5分