评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

该题考查曲面积分的计算。标准答案是 \(4\pi\)，而学生给出的答案是"二倍根号二派"，即 \(2\sqrt{2}\pi\)。这个答案与标准答案不符。

从解题思路来看，本题适合使用高斯公式（散度定理）计算。曲面\(\Sigma\)是封闭曲面，取外侧，满足高斯公式的条件。被积表达式对应向量场\(\vec{F} = (x^2, y^2, z)\)，其散度为： \[ \text{div}\vec{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2) + \frac{\partial}{\partial z}(z) = 2x + 2y + 1 \] 根据高斯公式： \[ \iint_{\Sigma} x^2 dy dz + y^2 dz dx + z dx dy = \iiint_{V} (2x + 2y + 1) dV \] 其中积分区域\(V\)是\(\{(x,y,z)\mid x^2 + 4y^2 \leq 4, 0 \leq z \leq 2\}\)。

由于区域关于\(x=0\)和\(y=0\)对称，且\(2x\)和\(2y\)是奇函数，所以： \[ \iiint_{V} 2x dV = 0, \quad \iiint_{V} 2y dV = 0 \] 因此： \[ \iint_{\Sigma} \cdots = \iiint_{V} 1 dV = \text{体积}(V) \] 区域\(V\)的底面是椭圆\(x^2 + 4y^2 \leq 4\)，即\(\frac{x^2}{4} + y^2 \leq 1\)，面积为\(\pi \cdot 2 \cdot 1 = 2\pi\)，高度为2，所以体积为\(2\pi \times 2 = 4\pi\)。

学生答案\(2\sqrt{2}\pi\)与正确结果\(4\pi\)不同，存在计算错误。由于这是填空题，答案错误即不得分。

得分：0分

题目总分：0分