评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答的整体思路正确，使用了等价无穷小替换、泰勒展开和洛必达法则来求解极限。具体步骤：

• 步骤一：正确将分母替换为 \(x^2\)，利用了 \(\sin x \sim x\) 和 \(e^x - 1 \sim x\)，符合等价无穷小替换原则。
• 步骤二：在泰勒展开部分，学生将 \(e^x - 1\) 展开为 \(x + \frac{x^2}{2} + \cdots\)，但未对 \(\int_{0}^{x} e^{t^2} dt\) 进行展开，而是直接保留了积分形式。这导致后续推导中，学生错误地将 \((1 + \int_{0}^{x} e^{t^2} dt) \sin x\) 近似为 \(x(1 + \int_{0}^{x} e^{t^2} dt)\)，忽略了高阶项的影响。实际上，应使用泰勒展开精确到足够阶数（如 \(x^3\)）以避免误差。此步骤存在逻辑错误，扣2分。
• 步骤三：正确应用洛必达法则计算 \(\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} e^{t^2} dt}{x} = 1\)，并得出最终结果 \(\frac{1}{2}\)，与标准答案一致。

尽管步骤二有逻辑错误，但最终结果正确，且整体思路清晰。根据打分要求，逻辑错误扣分，但思路正确部分不扣分。综合考虑，扣2分。

得分：8分。

题目总分：8分