评分及理由

（1）收敛域部分得分及理由（满分6分）

学生正确分析了两个级数的收敛性：对于∑e^{-nx}，指出当x>0时收敛（但错误地写为x∈[0,+∞)时|e^{-x}|<1恒成立，实际上x=0时e^{-0}=1，比值判别法失效，且x=0时级数发散，但学生未考虑x=0的情况）；对于∑x^{n+1}/[n(n+1)]，正确得到收敛半径R=1，并检验端点x=±1，得到收敛域[-1,1]。取交集时，学生得到[0,1]，但标准答案为(0,1]。这里存在逻辑错误：x=0时，∑e^{-n·0}=∑1发散，所以收敛域不应包含0。因此扣2分。得分：4分。

（2）和函数部分得分及理由（满分6分）

学生正确将和函数分为两部分：S₁(x)=∑e^{-nx}=1/(e^x-1)（x>0），S₂(x)=∑x^{n+1}/[n(n+1)]。在计算S₂(x)时，学生写成∑x^{n+1}/n - ∑x^{n}/n（从n=2开始）并得到-x ln(1-x) - [-ln(1-x)-x] = x + ln(1-x) - x ln(1-x)，结果正确（与标准答案等价，因(1-x)ln(1-x)+x = x + ln(1-x) - x ln(1-x)）。但在x=1处的处理不完整（只提到收敛，未计算具体值）。扣1分。得分：5分。

题目总分：4+5=9分