评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生正确识别出使积分最大的区域是圆盘 \(x^2 + y^2 \leq 4\)，并正确转化为极坐标计算。计算过程中，极坐标变换正确，积分限正确，但计算细节有误：积分 \(\int_0^2 (4r - r^3)dr = [2r^2 - \frac{r^4}{4}]_0^2 = 8 - 4 = 4\)，然后乘以 \(2\pi\) 得 \(8\pi\)。学生写成了 \(2\pi \cdot (4 \times 2 - 2^2) = 2\pi \cdot (8 - 4) = 8\pi\)，虽然中间表达式有误（应为 \(2r^2 - \frac{1}{4}r^4\) 但计算时用了 \(4 \times 2 - 2^2\)），但最终结果正确。由于核心思路和最终答案正确，仅扣1分细节表达不严谨。

得分：5分

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生正确应用了格林公式和补线法，但存在以下逻辑错误：
1. 在曲线积分中，学生写成了 \(\int_D Qdx + Pdy\)，但标准形式应为 \(\int_L Pdx + Qdy\)，这里符号顺序错误，但根据上下文可推断是笔误。
2. 在计算 \(\int_{L_1}\) 时，学生直接写为 \(\frac{1}{\varepsilon^2} \int_{L_1} (-1) - 1 dxdy\)，但曲线积分不应出现 \(dxdy\)，这里混淆了曲线积分与二重积分，是严重逻辑错误。
3. 计算面积时写为 \(S_{L_1} = \pi \cdot \varepsilon \cdot \frac{\varepsilon}{2}\)，这是错误的椭圆面积公式（正确应为 \(\pi \cdot a \cdot b\)，但这里 \(a = \varepsilon, b = \varepsilon/2\)? 实际上 \(L_1\) 是圆 \(x^2 + y^2 = \varepsilon^2\)，面积应为 \(\pi \varepsilon^2\)），导致后续计算错误。
尽管最终答案正确，但中间过程存在多处逻辑错误，扣3分。

得分：3分

题目总分：5+3=8分