评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生作答中给出了特征值计算过程，得到特征值 λ₁=λ₂=a-1，λ₃=a+2，这与标准答案一致。在特征向量求解部分，学生给出了对应特征值a-1的特征向量(-1,1,0)和(1,0,1)，对应特征值a+2的特征向量(-1,-1,1)，这些特征向量与标准答案一致。学生使用施密特正交化方法对特征向量进行正交化，得到正交向量组，然后单位化得到正交矩阵P。虽然正交化过程中的具体计算步骤与标准答案略有不同，但最终得到的正交矩阵P与标准答案等价（列向量顺序可能不同，但都是正确的正交基）。因此本小题思路正确，计算准确，得6分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生正确利用(Ⅰ)中的正交矩阵P和对角化结果，计算得到P^T[(a+3)E-A]P=diag(4,4,1)。然后通过开方得到对角矩阵diag(2,2,1)，并构造正定矩阵C=Pdiag(2,2,1)P^T。学生给出了完整的矩阵乘法计算过程，最终得到C=1/3[[5,-1,1],[-1,5,1],[1,1,5]]，这与标准答案完全一致。思路正确，计算准确，得6分。

题目总分：6+6=12分