评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确计算了收敛半径：由递推关系得到 \(\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1\)，从而收敛半径 \(R=1\)，并得出当 \(|x|<1\) 时幂级数收敛。此部分与标准答案一致，逻辑完整，得5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确写出和函数 \(S(x)\) 的导数表达式：\(S'(x) = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty a_{n+1}(n+1)x^n\)，并利用递推关系 \((n+1)a_{n+1} = (n+\frac12)a_n\) 得到 \(S'(x) = \sum_{n=0}^\infty (n+\frac12)a_n x^n\)。此处拆分正确，但后续未继续推导微分方程和求解和函数，解答不完整。由于题目要求证明收敛并求和函数，学生只完成了收敛性证明和导数表达式的建立，未求出最终和函数，因此扣2分，得3分。

题目总分：5+3=8分