评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是 √2，这与标准答案 $\sqrt{2}$ 完全一致。该极限计算过程为：

$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1+2^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln \frac{1+2^x}{2}}$$

其中 $\frac{1+2^x}{2} = 1 + \frac{2^x-1}{2}$，利用等价无穷小 $2^x-1 \sim x\ln2$ 和 $\ln(1+t) \sim t$，可得：

$$\frac{1}{x} \ln \frac{1+2^x}{2} \sim \frac{1}{x} \cdot \frac{2^x-1}{2} \sim \frac{1}{x} \cdot \frac{x\ln2}{2} = \frac{\ln2}{2}$$

因此原极限为 $e^{\frac{\ln2}{2}} = \sqrt{2}$。学生答案正确且与标准答案一致，得满分4分。

题目总分：4分