评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确证明了两个不等式：

• 对于右边不等式 \(\ln(1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}\)，通过构造函数 \(f(x)=\ln(1+x)-x\) 并利用导数证明单调性，推理正确。
• 对于左边不等式 \(\ln(1+\frac{1}{n})>\frac{1}{n+1}\)，通过构造函数 \(g(x)=\ln x+\frac{1}{x}-1\) 并利用导数证明单调性，推理正确。

证明过程完整严谨，与标准答案思路一致。得5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生证明数列收敛分为两部分：

• 单调性证明：学生给出了两种方法：
  • 第一种方法（数学归纳法）存在逻辑错误：仅验证n=2时成立，归纳假设和步骤不完整，不能证明单调性。
  • 第二种方法直接计算 \(a_{n+1}-a_n = \ln[(1-\frac{1}{n+1})e^{\frac{1}{n+1}}]\)，但表达式写错（应为 \(\ln[(1+\frac{1}{n})e^{-\frac{1}{n+1}}]\)），导致后续推理错误。
  扣2分。
• 有下界证明：正确利用(1)中不等式得到 \(a_n > \ln(n+1) - \ln n > 0\)，推理正确。得3分。

本部分得分：3分（下界证明正确）+ 0分（单调性证明错误）= 3分。

题目总分：5+3=8分