评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分5.5分）

学生答案中容积计算部分：

• 思路正确：使用旋转体体积公式 \(V = 2\pi \int x^2 dy\)，并正确识别了上下部分曲线对应的函数关系。
• 积分上下限错误：标准答案中上半部分积分区间为 \([\frac12,1]\)，学生写成了 \([-1,\frac12]\)，虽然积分表达式 \(1-y^2\) 对应的是下半圆（\(y \le \frac12\)），但区间下限为 -1 不合理，因为图形中 y 最小为 -1（对应 \(x^2+y^2=1\) 的下端点），但题目中只用了 \(y\le \frac12\) 部分，所以积分区间应为 \([-1,\frac12]\) 还是 \([-1,1]\) 需注意。实际上标准答案只算了一半再乘2，学生直接对 \([-1,\frac12]\) 积分并乘 \(2\pi\) 得到 \(\frac{9\pi}{4}\)，数值结果正确，但区间写法与标准答案不同，不过不影响结果。
• 计算过程无误，最终结果正确。
• 扣分：积分区间表述与图形不完全一致，但结果正确，扣 0.5 分。
• 得分：5 分

（Ⅱ）得分及理由（满分5.5分）

学生答案中做功计算部分：

• 思路正确：使用微元法，功 \(dW = \rho g \cdot \text{体积元} \cdot \text{抽水高度}\)，高度为 \(2-y\)。
• 积分分段正确：分为下半球 \([-1,\frac12]\) 用 \(x^2=1-y^2\)，上半部分 \([\frac12,2]\) 用 \(x^2=2y-y^2\)。
• 积分上下限错误：下半部分应为 \(y\in[0,\frac12]\) 或 \([-1,\frac12]\)？图形中下半圆是 \(x^2+y^2=1\) 且 \(y\le \frac12\)，但 y 最小是 -1 还是 0？从图看，容器底部在 y=-1 处，但题目说“由曲线绕 y 轴旋转”，且下面部分 \(y\le \frac12\) 对应 \(x^2+y^2=1\)，因此 y 从 -1 到 1/2 是合理的。标准答案里下半部分积分区间是 \([\frac12,1]\) 吗？不对，标准答案下半部分对应 \(y\le \frac12\) 的球缺部分，但它是用 \(V=2V_1\) 对称算...