评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生正确给出了系数矩阵的初等行变换过程，并讨论了不同a值下的解情况：

• 当a=3时，正确给出解为k(-1,-1,1)^T
• 当a≠3且a≠-2时，正确给出零解
• 当a=-2时，学生写成了a=2，这是一个明显的计算错误，导致解向量错误

扣分：a=2应为a=-2，这是一个关键参数错误，扣2分。

得分：4-2=2分

（2）得分及理由（满分4分）

学生正确分析了秩的情况与规范形的关系：

• 当a=2或a=3时，秩为2，规范形为y₁²+y₂²（正确）
• 当a≠-2且a≠3时，秩为3，规范形为y₁²+y₂²+y₃²（正确）

但学生仍然将a=-2误写为a=2，这是一个延续性错误。

扣分：由于a=2的错误延续，扣1分。

得分：4-1=3分

（3）得分及理由（满分4分）

学生正确指出：

• f(x₁,x₂,x₃)=0有非零解时，a=3或a=-2
• 要使A正定，应取a=3

但学生没有完成题目要求的"求二次型g(x)=xᵀAx在xᵀx=2下的最大值"这一部分。

扣分：缺少最大值计算部分，扣2分。

得分：4-2=2分

题目总分：2+3+2=7分