评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生正确写出了齐次线性方程组，并对系数矩阵进行了初等行变换。在讨论解的情况时：

• 当 \(a \neq 3\) 且 \(a \neq -2\) 时，正确得出只有零解。
• 当 \(a = 3\) 时，正确得出通解为 \(k(-1,-1,1)^T\)。
• 当 \(a = -2\) 时，学生给出的解为 \(k_2(-1, \frac{3}{4}, 1)^T\)，但标准答案为 \(c(-2,3,2)^T\)。虽然形式不同，但两者成比例（乘以4后为 \((-4,3,4)^T\)，与标准答案不成比例），实际上学生解错了，因为代入原方程验证不成立。此处属于计算错误，扣1分。

得分：3分（满分4分）

（2）得分及理由（满分4分）

学生对规范形的讨论：

• 当 \(a \neq -2\) 且 \(a \neq 3\) 时，正确得出规范形为 \(y_1^2 + y_2^2 + y_3^2\)。
• 当 \(a = 3\) 或 \(a = -2\) 时，正确得出规范形为 \(y_1^2 + y_2^2\)。
• 但学生写错了条件“当 \(a = 2\) 或 \(a = 3\) 时”，其中 \(a = 2\) 是错误条件（应为 \(a = -2\)），这可能是笔误，但根据上下文判断为误写，不扣分。

得分：4分（满分4分）

（3）得分及理由（满分4分）

学生正确指出当 \(f(x_1,x_2,x_3) = 0\) 有非零解时 \(a = 3\) 或 \(a = -2\)，并正确选择 \(a = 3\) 使矩阵 \(A\) 正定。但学生只完成了第（3）问的前半部分（确定常数 \(a\)），没有计算二次型 \(g(x) = x^T A x\) 在 \(x^T x = 2\) 下的最大值，因此后半部分未完成。

得分：2分（满分4分）

题目总分：3+4+2=9分