评分及理由

（1）收敛半径证明部分得分及理由（满分2分）

学生正确计算了收敛半径：由递推关系得到 \(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1\)，从而得到收敛半径 \(R=1\)，并正确指出当 \(|x|<1\) 时幂级数收敛。这部分完全正确，得2分。

（2）和函数求解部分得分及理由（满分8分）

学生在求解和函数时存在以下问题：

• 在推导 \(a_n\) 的递推关系时，由 \((n+1)a_{n+1} = (n+\frac12)a_n\) 得到 \(na_n = (n-\frac12)a_{n-1}\) 这一步是正确的，但后续处理不当。
• 设 \(S(x) = \sum_{n=1}^\infty a_n x^n\) 后，学生试图通过 \(\sum a_n x^n = \sum a_{n-1}x^n - \sum \frac{1}{2n}a_{n-1}x^n\) 来建立关系，这个思路虽然可行但执行有误。
• 对 \(\sum \frac{1}{2n}a_{n-1}x^n\) 求导的处理不正确，导致后续推导出现偏差。
• 最终得到的微分方程 \(\frac12 S(x) = (1-x)S'(x)\) 是正确的（虽然推导过程有瑕疵），求解过程也基本正确。
• 但确定常数时，学生得到 \(S(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}}\)，而正确答案应为 \(S(x) = \frac{2}{\sqrt{1-x}} - 2\)。这表明学生在确定常数时没有验证结果的正确性。

考虑到学生正确建立了微分方程并求解，只是常数确定有误，这部分给予4分（满分8分）。

题目总分：2+4=6分