2024年考研数学（二）考试试题 - 第15题回答

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 \( -4\pi \)，而标准答案是 \( \frac{3\pi}{2} \)。根据题意，平均速度的定义为位移除以时间，即从 \( t=0 \) 到 \( t=3 \) 的位移积分除以 3。位移函数为速度函数的积分：

\[ s(t) = \int v(t) \, dt = \int (t + k \sin \pi t) \, dt = \frac{t^2}{2} - \frac{k}{\pi} \cos \pi t + C \]

从 \( t=0 \) 到 \( t=3 \) 的位移为：

\[ s(3) - s(0) = \left( \frac{9}{2} - \frac{k}{\pi} \cos 3\pi \right) - \left( 0 - \frac{k}{\pi} \cos 0 \right) = \frac{9}{2} - \frac{k}{\pi}(-1) + \frac{k}{\pi}(1) = \frac{9}{2} + \frac{2k}{\pi} \]

平均速度为：

\[ \frac{\frac{9}{2} + \frac{2k}{\pi}}{3} = \frac{5}{2} \]

解得：

\[ \frac{9}{2} + \frac{2k}{\pi} = \frac{15}{2} \implies \frac{2k}{\pi} = 3 \implies k = \frac{3\pi}{2} \]

学生答案 \( -4\pi \) 与正确结果不符，且计算过程存在逻辑错误（如积分符号错误或代数求解错误），因此得 0 分。

题目总分：0分

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