评分及理由

（1）微分方程求解部分（满分4分）

学生正确地将原方程整理为 \((y^2+1)y' = 1-x^2\)，并正确分离变量得到 \((1+y^2)dy = (1-x^2)dx\)，积分得到通解 \(y+\frac{1}{3}y^3 = x-\frac{1}{3}x^3 + C\)。利用初始条件 \(y(2)=0\) 正确求出 \(C=\frac{2}{3}\)。此部分完全正确，得4分。

（2）极值点求解部分（满分3分）

学生正确写出 \(y' = \frac{1-x^2}{1+y^2}\)，并令 \(y'=0\) 得到 \(x=\pm 1\)。此部分完全正确，得3分。

（3）极值判断部分（满分3分）

学生正确分析单调性： - \(x<-1\) 时 \(y'<0\) - \(-10\) - \(x>1\) 时 \(y'<0\) 由此正确判断 \(x=-1\) 处取极小值，\(x=1\) 处取极大值。代入隐函数方程正确求得 \(y(-1)=0\)，\(y(1)=1\)。此部分完全正确，得3分。

题目总分：4+3+3=10分