评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生正确使用了轮换对称性，将原积分转化为 \(\frac{1}{2}\iint_D \sin(\pi\sqrt{x^2+y^2})dxdy\)，这一步与标准答案一致，思路正确。

在极坐标变换部分，学生正确写出积分区域为 \(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\)，\(1 \leq r \leq 2\)，并正确写出被积函数为 \(\sin(\pi r) \cdot r\)，这一步正确。

在计算 \(\int_1^2 r\sin(\pi r)dr\) 时，学生使用了分部积分法，但中间计算出现错误：

• 学生得到 \(\int_1^2 r\sin(\pi r)dr = -\frac{3}{\pi}\)，这是错误的（正确结果应为 \(-\frac{3}{\pi}\)？不对，标准答案中这部分计算结果是 \(-\frac{3}{\pi}\)？实际上标准答案中并没有单独计算这个积分，而是整体计算后得到 \(-\frac{3}{4}\)）
• 学生计算 \(\int_1^2 r\sin(\pi r)dr = -\frac{3}{\pi}\)，然后将这个结果代入 \(\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(-\frac{3}{\pi})d\theta\)，得到 \(-\frac{3}{4}\)
• 实际上 \(\int_1^2 r\sin(\pi r)dr\) 的正确计算应该是：

令 \(u = r, dv = \sin(\pi r)dr\)，则 \(du = dr, v = -\frac{1}{\pi}\cos(\pi r)\)

\(\int_1^2 r\sin(\pi r)dr = \left[-\frac{r}{\pi}\cos(\pi r)\right]_1^2 + \frac{1}{\pi}\int_1^2 \cos(\pi r)dr\)

\(= \left[-\frac{2}{\pi}\cos(2\pi) + \frac{1}{\pi}\cos(\pi)\right] + \frac{1}{\pi^2}[\sin(\pi r)]_1^2\)

\(= \left[-\frac{2}{\pi} \cdot 1 + \frac{1}{\pi} \cdot (-1...